Los investigadores descubren una forma única que recubre el plano de forma aperiódica y sin reflexión

Sep 10, 2023

5 de julio de 2023

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por Joe Petrik, Universidad de Waterloo

Recientemente, un equipo internacional de cuatro personas, que incluye al Dr. Craig Kaplan, profesor de la Escuela Cheriton de Ciencias de la Computación, descubrió una forma única que recubre el plano (una superficie infinita y bidimensional) en un patrón que nunca se puede repetir.

El descubrimiento cautivó a los matemáticos, a los entusiastas de los mosaicos y al público en general.

La forma, un polígono de 13 lados al que llamaron "el sombrero", es conocida por los matemáticos como un monotilo aperiódico o "einstein", palabras alemanas que significan "una piedra".

Pero el descubrimiento más reciente del equipo ha vuelto a subir el listón. Encontraron otra forma, relacionada con la primera, que cumple con una definición aún más estricta. Apodado el "espectro", la nueva forma muestra un plano en un patrón que nunca se repite sin el uso de imágenes especulares de la forma. Por esta razón, también se le ha llamado "einstein vampiro", una forma que se forma en mosaico de forma aperiódica sin necesidad de reflejarse.

"Nuestro primer artículo resolvió el problema de Einstein, pero como la forma requería reflexión para formar mosaicos de forma aperiódica, la gente planteó una pregunta legítima: ¿Existe una forma que pueda hacer lo que hace el sombrero pero sin reflexión?", explica Kaplan. "Tuvimos suerte de encontrar una forma que no sólo resuelve este subproblema, sino que también lo resolvió tan pronto después del primer artículo".

Para los matemáticos, el sombrero y su imagen especular son una sola forma, pero en el mundo físico las formas diestras y zurdas pueden comportarse de manera diferente. Por ejemplo, no se puede llevar un guante diestro en la mano izquierda.

"Si colocaras mosaicos en el piso de un baño grande de forma periódica con azulejos en forma de sombrero que habían sido vidriados en un lado, necesitarías sombreros e imágenes especulares de sombreros", dice Kaplan.

Pero no fue esta objeción la que motivó el reciente descubrimiento.

El descubrimiento del vampiro Einstein comenzó con las reflexiones de David Smith, un técnico de impresión jubilado y autodenominado aficionado a las formas de Yorkshire, Inglaterra, cuya curiosidad meses antes llevó al descubrimiento original de Einstein.

"Dave nos envió un correo electrónico un par de días después de que nuestro artículo sobre sombreros se publicara en línea para decirnos que había estado jugando con una forma relacionada que parecía comportarse de manera extraña", dice Kaplan. "Yoshiaki Araki, un matemático japonés y artista conocido cuyo trabajo está en el espíritu de MC Escher, había publicado fotografías de Tile(1,1) que hicieron que Dave se interesara en verlo más a fondo".

Yoshiaki publicó una pregunta intrigante en Twitter: "Un mosaico de tortuga aperiódico basado en un nuevo mosaico monotil aperiódico (1, 1.1). En el mosaico, se dice que alrededor del 12,7% de los mosaicos se reflejan. El verde es un ejemplo. Uno más La tortuga reflejada está escondida en el mosaico. ¿Quién es el reflejado?'"

"Yoshi había convertido Tile(1,1) en tortugas y es un poco difícil ver la otra tortuga reflejada en esa imagen. Pero a Dave le dio curiosidad. ¿Qué pasa si hacemos mosaicos con esta forma pero sin reflejos? Mientras lo hacía, Dave Descubrió que podía construir mosaicos progresivamente hacia afuera en un patrón que no se detenía ni se repetía".

Pero luego esta forma llegó con una objeción diferente. Como explica Kaplan, si usas reflejos de Tile(1,1), el patrón se repite. En otras palabras, es periódico. Pero si Tile(1,1) se modifica reemplazando sus bordes rectos con curvas, se convierte en un Einstein vampiro: una forma única que, sin reflexión, mosaico el plano infinito en un patrón que nunca podrá repetirse.

La pregunta obvia para los matemáticos y entusiastas del mosaico es ¿qué sigue?

"Podemos plantear muchas variaciones del problema", dice Kaplan. "Lo más interesante, al menos para mí, es si esto se puede hacer en 3D. Sería bueno tener una forma que se repita de forma no periódica en tres dimensiones. Este tipo de construcciones son mucho más difíciles de visualizar, pero computacionalmente no es tanto Más difícil de demostrar si tuviéramos la suerte de encontrar una forma tridimensional (una poliforma) que, como las tejas de los sombreros, sólo sea aperiódica".

"La teoría de mosaicos como rama de las matemáticas es hermosa, tangible y tiene muchos problemas fascinantes que resolver. No falta trabajo de seguimiento por hacer".

Hatfest, una celebración del descubrimiento de "el Sombrero", se llevará a cabo en el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford del 20 al 21 de julio. El primer día del evento incluirá charlas y talleres sobre mosaicos dirigidos a un público no especializado, mientras que el segundo contará con presentaciones dirigidas a una amplia audiencia de físicos y matemáticos.

Proporcionado por la Universidad de Waterloo