Revista Quanta

Jan 14, 2024

21 de junio de 2023

Samuel Velasco/Revista Quanta

Escritor colaborador

21 de junio de 2023

Un sábado por la tarde del otoño de 2021, Silvio Decurtins estaba hojeando un artículo con un título que podría haber sido sacado de un cómic para adolescentes con inclinaciones matemáticas: “El cubo de Platón y la geometría natural de la fragmentación”.

No fue el título inusual lo que llamó su atención, sino las imágenes de la tercera página: patrones geológicos en todas las escalas, desde el permafrost agrietado hasta las placas tectónicas de la Tierra. Decurtins, químico de la Universidad de Berna, recordó los materiales que había estado estudiando. “¡Ah! ¡También tengo patrones! el pensó. "Es sólo una cuestión de escala".

Los patrones de las decurtinas no estaban formados por grietas en la tierra, sino por moléculas: eran mosaicos de moléculas en láminas de solo una molécula de espesor. Estos materiales 2D pueden tener propiedades peculiares y prácticas que dependen de cómo están dispuestos sus componentes moleculares.

Por ejemplo, es posible organizar moléculas en patrones 2D que utilizan electrones como bits computacionales o para almacenar datos. Los patrones con espacios pueden actuar como membranas. Y los patrones que contienen iones metálicos pueden ser poderosos catalizadores.

Es posible construir estos materiales 2D átomo a átomo, pero hacerlo es costoso, difícil y requiere mucho tiempo. Muchos científicos, incluidos Decurtins y sus colegas, quieren diseñar materiales que se ensamblen solos. Predecir cómo las moléculas se autoensamblan en láminas bidimensionales es uno de los grandes desafíos de la ciencia de los materiales, afirmó Johannes Barth, físico de la Universidad Técnica de Munich.

Esto se debe a que la naturaleza no ha sido especialmente comunicativa con su filosofía de diseño molecular. Pronosticar el autoensamblaje es un trabajo para supercomputadoras, y los programas pesados ​​necesarios pueden tardar días o semanas en ejecutarse.

Entonces Decurtins se puso en contacto con Gábor Domokos, el primer autor del estudio, matemático de la Universidad de Tecnología y Economía de Budapest. Decurtins se preguntó si la misma geometría que describe cómo se fracturan los planetas podría explicar cómo se ensamblan las moléculas.

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Gábor Domokos, matemático de la Universidad de Tecnología y Economía de Budapest, utilizó la geometría para describir patrones geológicos en todas las escalas.

Cortesía de Gábor Domokos

Durante el año siguiente, Domokos y sus colegas utilizaron el pensamiento geométrico para desentrañar las reglas del autoensamblaje molecular, ideando una nueva forma de limitar los mosaicos que las moléculas pueden formar, utilizando únicamente la geometría simple de la teselación.

“Al principio no creían que fuera posible hacerlo”, dijo Domokos. “Estaban haciendo inteligencia artificial, supercomputación y todo ese tipo de jazz. Y ahora sólo están mirando fórmulas. Y esto es muy relajante”.

Después de que Decurtins se pusiera en contacto, Domokos intentó vender la idea a Krisztina Regős, su estudiante de posgrado. Decurtins había enviado un puñado de imágenes que representaban patrones a escala atómica (tejidos de una molécula que había sido diseñada y sintetizada por su colega Shi-Xia Liu) vistas a través del ojo de un potente microscopio. Domokos quería ver si Regős podía utilizar la geometría que había desarrollado originalmente para describir fracturas geológicas para caracterizar los patrones en las imágenes de Decurtins.

Para empezar, Regős trató los materiales 2D como simples teselaciones poligonales: patrones que encajan sin espacios y se repiten infinitamente. Luego, siguiendo el enfoque de Domokos, calculó dos números para cada patrón. El primero fue el número promedio de vértices o esquinas por polígono. El segundo fue el número promedio de polígonos que rodean cada vértice.

Juntos, esos dos valores promedio son como las coordenadas GPS de un patrón. Dan su ubicación dentro de un paisaje de todos los teselados posibles.

Este paisaje se llama plano simbólico. Es una cuadrícula 2D simple con el número promedio de formas por vértice en el eje x y el número promedio de vértices por forma en el eje y. Cada teselación debe trazarse exactamente en un punto dentro del plano. Un patrón de panal perfecto, por ejemplo, es un mosaico de hexágonos de seis puntas que se encuentran en tríos en cada vértice: un punto en (3, 6) en el plano simbólico.

Pero la mayoría de los mosaicos naturales, desde grietas de rocas hasta monocapas moleculares, no son teselados perfectamente periódicos.

Por ejemplo, no todas las celdas de un verdadero panal de cera son hexágonos perfectos. Las abejas cometen errores. Pero por muy complicado que sea, un panal sigue siendo, en promedio, un panal. Y en promedio, todavía se traza hasta un punto en (3, 6) en el plano simbólico. En lugar de ser una simplificación excesiva, el método de Domokos para calcular promedios es revelador, dijo la matemática Marjorie Senechal del Smith College, quien revisó el nuevo estudio. Al descartar los errores y tratar los patrones como promedios, se revela una especie de realidad ideal que normalmente está enterrada bajo montones de casualidades.

Pero cuando Regős intentó aplicar este método a las imágenes moleculares de Decurtins, rápidamente se encontró con problemas. “Empecé a ponerlos en el plano simbólico”, dijo, “y luego me di cuenta de que no puedo”.

El problema era la escala. A diferencia de los patrones geológicos con los que Domokos había trabajado antes, los mosaicos moleculares son en realidad patrones dentro de patrones. Vistos con diferentes aumentos, tienen diferentes geometrías. Regős no pudo describir los mosaicos moleculares con un solo par de valores porque los patrones trazaban diferentes puntos en el plano simbólico, dependiendo de la ampliación de la imagen. Fue un poco como acercarse a un mosaico hexagonal y descubrir que sus componentes básicos son en realidad triángulos.

Una imagen a escala nanométrica de dos patrones intrincados formados por la misma molécula.

Rémy Pawlak y Ernst Meyer

"Entonces Kriszti dijo: Está bien, esto es un desastre", dijo Domokos.

Luego descubrió cómo ordenar los mosaicos. En lugar de forzar los patrones anidados de los materiales en un solo par de promedios, los dividió en tres niveles de organización, cada uno representado por su propio punto en el plano simbólico.

En el nivel más bajo, los átomos de cada molécula se combinan para formar un polígono. Luego, esas moléculas se conectan entre sí mediante enlaces de hidrógeno, creando un mosaico de polígonos. Finalmente, en el nivel más reducido, las moléculas individuales se reducen a puntos, y esos puntos se conectan para formar un mosaico.

En el nuevo marco de Regős, cada nivel se representa como una simple malla de puntos y líneas: un gráfico.

Usar la teoría de grafos para describir patrones moleculares "es muy poderoso", dijo Carlos-Andrés Palma, físico químico de la Academia China de Ciencias y la Universidad Humboldt de Berlín. Tradicionalmente, los científicos clasifican los patrones según sus simetrías. Pero eso no refleja el desorden de la realidad: los nanomateriales reales rara vez son perfectamente periódicos o simétricos, dijo Palma. Por lo tanto, reducir los patrones moleculares a gráficos simples y flexibles "nos permite comunicarnos con el mundo natural, en mi opinión, mucho mejor", dijo.

Regős y Domokos ahora tenían una manera de describir los mosaicos moleculares de Decurtins, un paso clave hacia la predicción de cómo las moléculas podrían autoensamblarse.

"Realmente somos bastante malos a la hora de predecir", afirmó Ulrich Aschauer, físico computacional de la Universidad de Salzburgo que trabaja en el autoensamblaje.

Tradicionalmente, los científicos utilizan una variedad de métodos para predecir cómo se autoensamblarán las moléculas. Aschauer simula cómo interactúan las moléculas sobre una superficie. Luego identifica los patrones que requieren menos energía para formarse, cuáles deberían ser los que tienen más probabilidades de aparecer. Otros científicos analizan enormes cantidades de patrones generados aleatoriamente o entrenan algoritmos de aprendizaje automático para pronosticar el autoensamblaje. Todos estos métodos son computacionalmente costosos: Palma recordó cómo una vez un colega simuló moléculas de agua durante años, solo para hacer una única predicción sobre cómo se autoensambla el agua. Los algoritmos de aprendizaje automático también tienen puntos ciegos; Sólo aprenden lo que les das de comer, dijo Aschauer. Y es imposible comprobar todos los patrones posibles, por lo que los científicos a menudo tienen que adivinar cuáles vale la pena considerar en primer lugar.

"Nuestra suposición inicial determina lo último que encontramos", explicó Aschauer. "Y es un gran problema porque si no tengo la intuición correcta para empezar, termino equivocado".

Cuando Krisztina Regős era estudiante de posgrado en la Universidad de Tecnología y Economía de Budapest, ideó una manera de describir patrones moleculares como teselaciones simples.

Gabriel P. Smith

Pero la geometría de Regős y Domokos era agnóstica. Simplemente trataba a las moléculas como puntos y a los enlaces como líneas. No requirió una suposición inicial.

Después de conocer personalmente a Aschauer y Decurtins en Suiza, los matemáticos finalmente se dedicaron a la complicada tarea de intentar predecir patrones en lugar de simplemente describirlos.

Tal como estaba, el sistema de Regős podría limitar el nivel medio de organización de un patrón, en el que las moléculas son polígonos y los enlaces de hidrógeno son líneas. Pero no pudo trabajar hacia arriba desde el mosaico molecular para predecir el mosaico a gran escala. Sin algo que vinculara matemáticamente los tres niveles, su modelo era como una escalera a la que le faltaba un peldaño.

Domokos decidió que valía la pena consultar con Kostya Novoselov, un físico de la Universidad Nacional de Singapur que compartió un premio Nobel por sintetizar grafeno, quizás el material 2D más famoso de todos. Los dos se habían conocido accidentalmente a principios de ese año, después de que Novoselov encargara una cantidad notable de Gömböcs, nuevas formas geométricas que Domokos había descubierto, en una tienda de Budapest.

Con el aporte de Novoselov, Domokos y Regős refinaron su modelo geométrico. Hasta entonces, habían utilizado sólo tres niveles de organización: la molécula, el patrón de escala media y el patrón de gran escala. Novoselov propuso añadir un cuarto nivel: un puente entre los niveles medio y grande. La ecuación que describe este puente vincula la geometría de los niveles más pequeño y medio con el nivel más grande, el mosaico molecular.

Una vez colocado el puente, el equipo ahora podría tomar el mosaico molecular y trabajar hacia arriba para limitar sus patrones potenciales a gran escala utilizando un sistema simple de cinco ecuaciones algebraicas y desigualdades que podrían caber en el reverso de un sobre. En estos enunciados matemáticos, las variables son las coordenadas de un patrón en el plano simbólico, además de algunos términos que describen la estructura de una molécula. En su conjunto, el sistema relaciona cada nivel de organización con los demás y con las coordenadas de un patrón en el plano simbólico.

Trazadas en el plano simbólico, las posibles disposiciones a gran escala de una molécula caen en una pequeña porción de la curva que define todos los posibles patrones moleculares 2D que llenan el espacio. Los investigadores ahora podrían usar la molécula inicial para limitar esa porción.

Pero todavía no estaban convencidos de que su “porción” de posibles patrones fuera lo suficientemente pequeña. Si fuera demasiado amplia, no sería una restricción muy útil. Cuando Liu trazó las estructuras de hielo de agua 2D en el plano simbólico, descubrió que caían perfectamente en los extremos del rango previsto por el método. Los límites no se podrían mejorar.

“Este es el lenguaje de la naturaleza aquí”, dijo Domokos. "Eso fue una gran sorpresa para mí".

Cerca del final del proyecto, en mayo de 2022, los húngaros viajaron nuevamente a Suiza. Esta vez, sus colegas los sorprendieron con una visita al microscopio que había producido las imágenes con las que habían estado trabajando, y fue entonces cuando Regős y Domokos finalmente se dieron cuenta de lo que habían hecho: vincular matemáticamente mosaicos a gran escala con enlaces moleculares. en una escala mucho menor, habían capturado algo de la maraña invisible de interacciones que, en última instancia, dictan cómo se forman los patrones moleculares. Su geometría podía "ver" cosas que la máquina no podía.

Gábor Domokos con un microscopio de efecto túnel en Basilea, Suiza, el instrumento que creó las imágenes que él y Krisztina Regős utilizaron para desarrollar su marco geométrico para predecir mosaicos moleculares.

Cortesía de Krisztina Regős

"Fue increíble", dijo Regős. "Bajamos al sótano y vimos que están en el límite de nuestra ciencia".

Usar un microscopio para comprender patrones autoensamblados, dijo Novoselov, es como tratar de comprender la hierba tomándole fotografías desde arriba. Esas imágenes dicen mucho sobre el césped, “pero definitivamente no todo”, dijo. Revelan poco sobre las raíces de la hierba o cómo crece. El marco de Domokos y Regős no puede ver las raíces perfectamente, pero ofrece una forma completamente nueva de esbozarlas, vinculando los componentes moleculares de un patrón al mosaico final.

"Continúan una antigua y maravillosa tradición de estudiar la relación entre crecimiento y forma", dijo Senechal, "que es realmente fundamental para comprender cualquier cosa en el mundo que nos rodea".

El autoensamblaje molecular a menudo comienza con una pequeña porción de material que crece hasta formar un patrón más grande. Sin embargo, el nuevo marco matemático supone un patrón infinito, no un parche finito. Adaptar el trabajo para describir cómo los parches finitos crecen hasta convertirse en patrones más grandes podría ser un paso hacia una predicción genuina, dijo Palma. Aschauer dijo que planea utilizar la geometría como guía para llegar a callejones sin salida y rincones prometedores pero inexplorados en el paisaje de posibles patrones. Y utilizar el lenguaje matemático del plano simbólico para entrenar modelos de aprendizaje automático podría resultar apasionante, añadió.

"Estoy realmente intrigado por su belleza", dijo Novoselov. "Con muy poco -sólo un enfoque matemático fundamental, que es realmente geometría pura, sólo gráficos en 2D- se pueden predecir muchísimas cosas".

La matemática es simple, dijo Senechal. Pero “para ver la simplicidad”, añadió, “se necesita mucha sofisticación”.

Corrección: 30 de junio de 2023 El gráfico que representa el plano simbólico se actualizó para aclarar que la parte sombreada representa todos los mosaicos 2D convexos permitidos, no solo todos los mosaicos 2D permitidos.

Escritor colaborador

21 de junio de 2023

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